% 1 - ορισμός. Τι είναι το Лоренца - Максвелла уравнения

Лоренца - Максвелла уравнения

Лоренца уравнения, фундаментальные уравнения классической электродинамики (См. Электродинамика), определяющие микроскопические электромагнитные поля, создаваемые отдельными заряженными частицами. Л. - М. у. лежат в основе электронной теории (микроскопической электродинамики), построенной Х. А. Лоренцом в конце 19 - начале 20 вв. В этой теории вещество (среда) рассматривается как совокупность электрически заряженных частиц (электронов и атомных ядер), движущихся в вакууме.

В Л. - М. у. электромагнитное поле описывается двумя векторами: напряжённостями микроскопических полей - электрического е и магнитного h. Все электрические токи в электронной теории - чисто конвекционные, т. е. обусловлены движением заряженных частиц. Плотность тока j = ρυ, где ρ - плотность заряда, а υ - его скорость.

Л. - М. у. были получены в результате обобщения макроскопических Максвелла уравнений (См. Максвелла уравнения). В дифференциальной форме в абсолютной системе единиц Гаусса они имеют вид:

rot h =

rot е =

, (1)

div h = 0

div е = 4πρ

(с - скорость света в вакууме).

Согласно электронной теории, уравнения (1) точно описывают поля в любой точке пространства (в том числе межатомные и внутриатомные поля и даже поля внутри электрона) в любой момент времени. В вакууме они совпадают с уравнениями Максвелла.

Микроскопические напряжённости полей е и h очень быстро меняются в пространстве и времени и непосредственно не приспособлены для описания электромагнитных процессов в системах, содержащих большое число заряженных частиц (то есть в макроскопических материальных телах). А именно такие макроскопические процессы представляют интерес, например, для электротехники и радиотехники. Так, при токе в 1 а через поперечное сечение проводника в 1 сек проходит около 10¹⁹ электронов. Проследить за движением всех этих частиц и вычислить создаваемые ими поля невозможно. Поэтому прибегают к статистическим методам, которые позволяют на основе определённых модельных представлений о строении вещества установить связь между средними значениями напряжённостей электрических и магнитных полей и усреднёнными значениями плотностей заряда и тока.

Усреднение микроскопических величин производится по пространственным и временным интервалам, большим по сравнению с микроскопическими интервалами (порядка размеров атомов и времени обращения электронов вокруг ядра), но малым по сравнению с интервалами, на которых макроскопические характеристики электромагнитного поля заметно изменяются (например, по сравнению с длиной электромагнитной волны и её периодом). Подобные интервалы называются "физически бесконечно малыми".

Усреднение Л. - М. у. приводит к уравнениям Максвелла. При этом оказывается, что среднее значение напряжённости микроскопического электрического поля e̅ равно напряжённости поля в теории Максвелла: e̅= Е, а среднее значение напряжённости микроскопического магнитного поля h̅ - вектору магнитной индукции: h̅ = В.

В теории Лоренца все заряды разделяются на свободные и связанные (входящие в состав электрически нейтральных атомов и молекул). Можно показать, что плотность связанных зарядов определяется вектором поляризации Р (электрическим дипольным моментом единицы объёма среды):

ρ_связ. = - div Р (2)

а плотность тока связанных зарядов, кроме вектора поляризации, зависит также от намагниченности (См. Намагниченность) I (магнитного момента единицы объёма среды):

j_связ. =

rot I. (3)

Векторы Р и I характеризуют электромагнитное состояние среды. Вводя два вспомогательных вектора - вектор электрической индукции

D = E + 4πP (4)

и вектор напряжённости магнитного поля

H = B - 4πI (5)

получают макроскопические уравнения Максвелла для электромагнитного поля в веществе в обычной форме.

Помимо уравнений (1) для микроскопических полей, к основным уравнениям электронной теории следует добавить выражение для силы, действующей на заряженные частицы в электромагнитном поле. Объёмная плотность этой силы (силы Лоренца) равна:

(6)

Усреднённое значение лоренцовых сил, действующих на составляющие тело заряженные частицы, определяет макроскопическую силу, которая действует на тело в электромагнитном поле.

Электронная теория Лоренца позволила выяснить физический смысл основных постоянных, входящих в уравнения Максвелла и характеризующих электрические и магнитные свойства вещества. На её основе были предсказаны или объяснены некоторые важные электрические и оптические явления (нормальный Зеемана эффект, дисперсия света, свойства металлов и другие).

Законы классической электронной теории перестают выполняться на очень малых пространственно-временных интервалах. В этом случае справедливы законы квантовой теории электромагнитных процессов - квантовой электродинамики (См. Квантовая электродинамика). Основой для квантового обобщения теории электромагнитных процессов являются Л. - М. у.

Лит.: Лорентц Г. А., Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения, пер. с английского, 2 издание, М., 1953; Беккер Р., Электронная теория, перевод с немецкого, Л. - М., 1936; Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Теория поля, М., 1967 (Теоретическая физика, том 2).

Г. Я. Мякишев.

Максвелла уравнения

фундаментальные уравнения классической макроскопической электродинамики (См. Электродинамика), описывающие электромагнитные явления в произвольной среде. М. у. сформулированы Дж. К. Максвеллом в 60-х годах 19 века на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Опираясь на эти законы и развивая плодотворную идею М. Фарадея (См. Фарадей) о том, что взаимодействия между электрически заряженными телами осуществляются посредством электромагнитного поля (См. Электромагнитное поле), Максвелл создал теорию электромагнитных процессов, математически выражаемую М. у. Современная форма М. у. дана немецким физиком Г. Герцем и английским физиком О. Хевисайдом.

М. у. связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, с его источниками, то есть с распределением в пространстве электрических зарядов и токов. В пустоте электромагнитное поле характеризуется двумя векторными величинами, зависящими от пространственных координат и времени: напряжённостью электрического поля Е и магнитной индукцией В. Эти величины определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи, распределение которых в пространстве задаётся плотностью заряда ρ (зарядом в единице объёма) и плотностью тока j (зарядом, переносимым в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов). Для описания электромагнитных процессов в материальной среде (в веществе), кроме векторов Е и В, вводятся вспомогательные векторные величины, зависящие от состояния и свойств среды: электрическая индукция D и напряжённость магнитного поля Н.

М. у. позволяют определить основные характеристики поля (Е, В, D и Н) в каждой точке пространства в любой момент времени, если известны источники поля j и ρ как функции координат и времени. М. у. могут быть записаны в интегральной или в дифференциальной форме (ниже они даны в абсолютной системе единиц Гаусса; см. СГС система единиц).

М. у. в интегральной форме определяют по заданным зарядам и токам не сами векторы поля Е, В, D, Н в отдельных точках пространства, а некоторые интегральные величины, зависящие от распределения этих характеристик поля: циркуляцию (См. Циркуляция) векторов Е и Н вдоль произвольных замкнутых контуров и Потоки векторов D и B через произвольные замкнутые поверхности.

Первое М. у. является обобщением на переменные поля эмпирического Ампера закона о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только токами, текущими в проводниках, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения. Ток смещения возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости (позднее это было подтверждено экспериментально). Полный ток, равный сумме тока проводимости и тока смещения, всегда является замкнутым.

Первое М. у. имеет вид:

, (1, a)

то есть циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь j_n - проекция плотности тока проводимости j на нормаль к бесконечно малой площадке ds, являющейся частью поверхности S,

- проекция плотности тока смещения на ту же нормаль, а с = 3․10¹⁰ см/сек - постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме.

Второе М. у. является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея (см. Индукция электромагнитная) записывается в виде:

, (1, б)

то есть циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь B_n - проекция на нормаль к площадке ds вектора магнитной индукции В; знак минус соответствует Ленца правилу (См. Ленца правило) для направления индукционного тока.

Третье М. у. выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле порождается только токами):

, (1, в)

то есть поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

Четвёртое М. у. (обычно называемое Гаусса теоремой (См. Гаусса теорема)) представляет собой обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов - Кулона закона:

, (1, г)

то есть поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном данной поверхностью).

Если считать, что векторы электромагнитного поля (Е, В, D, Н) являются непрерывными функциями координат, то, рассматривая циркуляцию векторов Н и Е по бесконечно малым контурам и потоки векторов B и D через поверхности, ограничивающие бесконечно малые объёмы, можно от интегральных соотношений (1, а - г) перейти к системе дифференциальных уравнений, справедливых в каждой точке пространства, то есть получить дифференциальную форму М. у. (обычно более удобную для решения различных задач):

rot

, (2)

div

Здесь rot и div - дифференциальные операторы ротор (см. Вихрь) и Дивергенция, действующие на векторы Н, Е, B и D. Физический смысл уравнений (2) тот же, что и уравнений (1).

М. у. в форме (1) или (2) не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при наличии материальной среды. Необходимо их дополнить соотношениями, связывающими векторы Е, Н, D, В и j, которые не являются независимыми. Связь между этими векторами определяется свойствами среды и её состоянием, причём D и j выражаются через Е, а B - через Н:

D = D (E), B = B (Н), j = j (E). (3)

Эти три уравнения называются уравнениями состояния, или материальными уравнениями; они описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды имеют определённую форму. В вакууме D ≡ Е и B ≡ Н. Совокупность уравнений поля (2) и уравнений состояния (3) образуют полную систему уравнений.

Макроскопические М. у. описывают среду феноменологически, не рассматривая сложного механизма взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами среды. М. у. могут быть получены из Лоренца - Максвелла уравнений (См. Лоренца - Максвелла уравнения) для микроскопических полей и определённых представлений о строении вещества путём усреднения микрополей по малым пространственно-временным интервалам. Таким способом получаются как основные уравнения поля (2), так и конкретная форма уравнений состояния (3), причём вид уравнений поля не зависит от свойств среды.

Уравнения состояния в общем случае очень сложны, так как векторы D, B и j в данной точке пространства в данный момент времени могут зависеть от полей Е и Н во всех точках среды во все предшествующие моменты времени. В некоторых средах векторы D и B могут быть отличными от нуля при Е и H равных нулю (Сегнетоэлектрики и Ферромагнетики). Однако для большинства изотропных сред, вплоть до весьма значительных полей, уравнения состояния имеют простую линейную форму:

D = εE, B = μH, j = σE + j^cтр. (4)

Здесь ε (x, у, z) - Диэлектрическая проницаемость, а μ (x, у, z) - Магнитная проницаемость среды, характеризующие соответственно её электрические и магнитные свойства (в выбранной системе единиц для вакуума ε = μ = 1); величина σ(x, у, z) называется удельной электропроводностью; j ^cтр - плотность так называемых сторонних токов, то есть токов, поддерживаемых любыми силами, кроме сил электрического поля (например, магнитным полем, диффузией и т. д.). В феноменологической теории Максвелла макроскопические характеристики электромагнитных свойств среды ε, μ и σ должны быть найдены экспериментально. В микроскопической теории Лоренца - Максвелла они могут быть рассчитаны.

Проницаемости ε и μ фактически определяют тот вклад в электромагнитное поле, который вносят так называемые связанные заряды, входящие в состав электрически нейтральных атомов и молекул вещества. Экспериментальное определение ε, μ, σ позволяет рассчитывать электромагнитное поле в среде, не решая трудную вспомогательную задачу о распределении связанных зарядов и соответствующих им токов в веществе. Плотность заряда ρ и плотность тока j в М. у. - это плотности свободных зарядов и токов, причём вспомогательные векторы Н и D вводятся так, чтобы циркуляция вектора Н определялась только движением свободных зарядов, а поток вектора D - плотностью распределения этих зарядов в пространстве.

Если электромагнитное поле рассматривается в двух граничащих средах, то на поверхности их раздела векторы поля могут претерпевать разрывы (скачки); в этом случае уравнения (2) должны быть дополнены граничными условиями:

[nH]₂ - [nH]₁ =

[nE]₂ - [nE]₁ = 0, (5)

(nD)₂ - (nD)₁ = 4πσ,

(nB)₂ - (nB)₁ = 0.

Здесь j_пов и σ - плотности поверхностных тока и заряда, квадратные и круглые скобки - соответственно векторное и скалярное произведения векторов, n - единичный вектор нормали к поверхности раздела в направлении от первой среды ко второй (1→2), а индексы относятся к разным сторонам границы раздела.

Основные уравнения для поля (2) линейны, уравнения же состояния (3) могут быть и нелинейными. Обычно нелинейные эффекты обнаруживаются в достаточно сильных полях. В линейных средах [удовлетворяющих соотношениям (4)] и, в частности, в вакууме М. у. линейны и, таким образом, оказывается справедливым Суперпозиции принцип: при наложении полей они не оказывают влияния друг на друга.

Из М. у. вытекает ряд законов сохранения. В частности, из уравнений (1, а) и (1, г) можно получить соотношение (так называемое уравнение непрерывности):

, (6)

представляющее собой закон сохранения электрического заряда: полный ток, протекающий за единицу времени через любую замкнутую поверхность S, равен изменению заряда внутри объёма V, ограниченного этой поверхностью. Если ток через поверхность отсутствует, то заряд в объёме остаётся неизменным.

Из М. у. следует, что электромагнитное поле обладает энергией и импульсом (количеством движения). Плотность энергии ω (энергии единицы объёма поля) равна:

, (7)

Электромагнитная энергия может перемещаться в пространстве. Плотность потока энергии определяется так называемым вектором Пойнтинга

. (8)

Направление вектора Пойнтинга перпендикулярно как Е, так и Н и совпадает с направлением распространения электромагнитной энергии, а его величина равна энергии, переносимой в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к вектору П. Если не происходит превращений электромагнитной энергии в другие формы, то, согласно М. у., изменение энергии в некотором объёме за единицу времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую этот объём. Если внутри объёма за счёт электромагнитной энергии выделяется тепло, то закон сохранения энергии записывается в форме:

(9)

где Q - количество теплоты, выделяемой в единицу времени.

Плотность импульса электромагнитного поля g (импульс единицы объёма поля) связана с плотностью потока энергии соотношением:

. (10)

Существование импульса электромагнитного поля впервые было обнаружено экспериментально в опытах П. Н. Лебедева по измерению давления света (1899).

Как видно из (7), (8) и (10), электромагнитное поле всегда обладает энергией, а поток энергии и электромагнитный импульс отличны от нуля лишь в случае, когда одновременно существуют и электрическое и магнитное поля (причём эти поля не параллельны друг другу).

М. у. приводят к фундаментальному выводу о конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий (равной с = 3․10¹⁰ см/сек). Это означает, что при изменении плотности заряда или тока в некоторой точке пространства порождаемое ими электромагнитное поле в точке наблюдения изменяется не в тот же момент времени, а спустя время τ = R/c, где R - расстояние от элемента тока или заряда до точки наблюдения. Вследствие конечной скорости распространения электромагнитных взаимодействий возможно существование электромагнитных волн (См. Электромагнитные волны), частным случаем которых (как впервые показал Максвелл) являются световые волны.

Электромагнитные явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта), то есть удовлетворяют принципу относительности. В соответствии с этим М. у. не меняют своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (релятивистски инвариантны). Выполнение принципа относительности для электромагнитных процессов оказалось несовместимым с классическими представлениями о пространстве и времени, потребовало пересмотра этих представлений и привело к созданию специальной теории относительности (А. Эйнштейн, 1905; см. Относительности теория). Форма М. у. остаётся неизменной при переходе к новой инерциальной системе отсчёта, если пространств, координаты и время, векторы поля Е, Н, В, D, плотность тока j и плотность заряда ρ изменяются в соответствии с Лоренца преобразованиями (выражающими новые, релятивистские представления о пространстве и времени). Релятивистски-инвариантная форма М. у. подчёркивает тот факт, что электрическое и магнитное поля образуют единое целое.

М. у. описывают огромную область явлений. Они лежат в основе электротехники и радиотехники и играют важнейшую роль в развитии таких актуальных направлений современной физики, как физика плазмы (См. Плазма) и проблема управляемых термоядерных реакций (См. Термоядерные реакции), Магнитная гидродинамика, Нелинейная оптика, конструирование ускорителей заряженных частиц (См. Ускорители заряженных частиц), астрофизика и т. д. М. у. неприменимы лишь при больших частотах электромагнитных волн, когда становятся существенными квантовые эффекты, то есть когда энергия отдельных квантов электромагнитного поля - фотонов - велика и в процессах участвует сравнительно небольшое число фотонов.

Лит.: Максвелл Дж. К., Избранные сочинения по теории электромагнитного поля, перевод с английского, М., 1952; Тамм И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М., 1957; Калашников С. Г., Электричество, М., 1956 (Общий курс физики, т. 2); Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, (перевод с английского], в. 5, 6, 7, М., 1966; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 5 изд., М., 1967 (Теоретическая физика, т. 2); их же, Электродинамика сплошных сред, М., 1959.

Г. Я. Мякишев.

Τι (ποιος) είναι Лоренца - Максвелла уравнения - ορισμός

Βικιπαίδεια